`    在一个半径为R的圆形平面区域里,存在垂直与该平面且随时间均匀增大的匀强磁场,磁感强度随时间的变化率是k,试求出该电磁场的电场强度E的表达式?

`    以圆形磁场区域的圆心为坐标原点建立坐标系，取z轴沿着磁场方向。下面研究在坐标平面xoy上离原点距离是r的一点P 。
      磁场的表达式很简单，在圆内 B=kt ，在圆外 B=0 .无限长圆拄型通电密绕螺线管可以产生这样的匀强磁场，应用螺线管的磁场公式B=μ₀j,可求得圆拄面上的面电流密度是j=B/μ₀=kt/μ₀。
      下面求解电场的表达式。
      真空中的麦克斯韦方程组是
            

因为圆内外都没有电荷和电流，在考虑到μ₀ε₀=1/c²。上述方程组可以简化为
            

因为本题中的磁场是匀强磁场，所以磁感应强度的散度和旋度都是0。这样上边的第三式在求电场表达式时是多余的，应去掉第三式，第四式也可进一步简化
            

最后一式说明该电场一定是静电场，下面令E只是坐标的函数，与t无关，那么就只需求解下面的方程组了
            
      
      下面分别讨论圆内和圆外的电磁场。
      1、若P点在圆内，那么B=kt且沿z轴方向，取z轴方向的单位矢量是，设圆内的电场强度是E₁，那么，圆内的电场由一下方程组决定
            
      
      2、若P点在圆外，那么B=0，设圆外的电场强度是E₂，那么圆外的电场由下面的方程组决定
            

`    该题的界面为圆拄，所以用拄坐标研究比较合适。取拄坐标的3个变量是r、φ、z ，电场强度在拄坐标中的3个分量是E_r、E_φ、E_Z，那么电场的散度和旋度可以表示为
            
               
            

      在圆内的区域，E₁应满足
            
         
            

      在圆外的区域，E₂应满足